外資系コンサルタントが主夫になったら

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指数・対数は1時間で解けるようになる

目標習得時間:1時間 問題数:3問

 

■数IIの指数・対数はほとんど計算問題

今回は、「指数関数」「対数関数」と呼ばれる新しい関数を導入します。本当は三角関数と同じような奥深さのある単元なのですが、実は指数・対数の本番は数IIIであり、数IIで学ぶのはほとんど計算問題です(数I 三角比と数II 三角関数と似たような関係です)。従って、導入のとっつきにくさだけ乗り越えれば、非常に易しい単元だと言えます。

 ■覚えることは非常に少ない

早速、今回覚えることの一覧です。

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指数関数については感覚的にも理解しやすいと思いますが、問題は対数関数でしょう。そもそも「対数とは何ぞや?」という点と、感覚的に理解しにくい「底」という存在が難しいポイントだと思います。また上記では、⑦⑧以外で敢えて対数の底を消しました。これらの理解の仕方については、問2-問3の演習の中で習得していきたいと思います。

 

■指数・対数の基本、大小比較の問題

問1 以下の数の大小を比較せよ。

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大小比較は、この単元で非常によく登場する問題です。まずは本問を通じて、指数計算になじんでいきます。

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ただ公式に当てはめて整数の比較にするだけなので、実際に手を動かしてもらえばすぐに習得できると思います。指数計算については、これができれば十分だと思いますので、さっそく対数に移っていきます。

 

logの意義は、指数を外せること

問2 以下の方程式を解け。

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まず問題を解く前に、「対数とは何か?」という話です。

三角関数には「円の座標を表現したい」という目的があったように、対数でも、「なぜ対数が必要なのか?」という観点で考えると、非常にシンプルに理解できると思います。

本問を見て、どのように感じたでしょうか。恐らく「xが指数部分になければ簡単なのに、、、」と思ったはずです。それなら、指数部分を消去できるような計算ルールを作ってしまえばいい、これが対数を導入する意義なのです。つまり対数とは、指数計算を容易にするため、公式⑤が成り立つような数を定義したものなのです。

また、これが対数の定義だとすると、「対数の底」という数がほとんど意味のないものだということもわかります(公式⑤は底の値に依存しないから)。教科書ではこの底について様々な計算問題に取り組みますが、数学的には非常に些細な問題です。数III以降は、もはや底を書くことすらしません。従って今回も、公式⑦⑧を利用するシーン以外は、底を書かずに問題を解き進めていきたいと思います。

 

さて、長くなりましたが、結局理解すべきことは以下です。

  • 対数を使うと、指数計算が簡単になる
  • 「対数の底」は、ほぼ無意味な数。数学界では、底を書かない方が普通

これだけ覚えて問題に取り掛かりましょう。

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注目していただきたい点は2つです。

まずは、対数を使うことで、一見難しそうな方程式がただの一次方程式になったこと。もう一つは、「底」を書かなくても答えを出せたことです。ただし、問題によっては底の利用を強制されることもあるので、最後の部分の計算も念のためできるようにしておくことをお勧めします。(問題文で指示されない限り、底は書かなくても正解です)

 

■底の使い道とは

さて、「底は意味なし」という話をさんざんした後ですが、ではなぜ「底」という数があるのか?という疑問が湧いてきます。実は、底を10に設定したとき、この数が存在することの意味が現れます。

問3 以下の数の桁数を答えよ。

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実は、底が10の対数を使うことで、整数の桁数を知ることができます。

まずは例として、20000という数の対数がどうなっているか調べてみましょう。

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このように、底が10の対数を取ると、「20000という数字は、10を何回かけているのか」を計算することができます。ここで20000は5桁の整数ですから、上記の結果と見比べると、

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というルールを導くことができます。

 

ではこのルールを使って問題を解いていきます。

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■対数の定義で躓かなければ容易な単元

やはりこの単元の肝は、対数の定義で躓かないことだと思います。学校では時間をかけて学ぶ分、定数の意味が分かりにくくなってしまいますが、シンプルに「指数計算のテクニック」だと考えれば分かりやすいと思います。あまり難しい問題も登場しないので、この部分さえ乗り越えれば非常に習得容易な単元です。