外資系コンサルタントが主夫になったら

主夫、はじめました。興味のあることをとことん研究します。勉強法、テクノロジーなど

図形と方程式は2時間で解けるようになる

目標習得時間:2時間 問題数:2問

 

■これまでの数学学習の総まとめ

この単元は、新しい領域というよりこれまでの数学学習の総まとめと考えるべきです。従って、これまでの単元を習得できていることが非常に重要なので、理解に不安がある方はまず復習されることをお勧めします。

■新しい公式は、6つだけ覚えておく

総まとめとは言ったものの、この単元ではかなり多くの新公式が登場します。しかし、中にはわざわざ習わなくても自明なものも含まれており、結果的に以下の6つだけを覚えておけば十分だと思います。

 

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さて、今回の単元の難しいところは、公式だけ覚えても解けるようにならないことです。なぜなら、今回の公式だけではなく、これまでに習得した知識を総動員する必要があるためです。そこで今回は、2問の演習を通じて、過去に習得した知識をいかに取り出し活用するのかという、いわゆる応用力の習得を目指します。

 

■ついにわかる、解と係数の関係の使いどころ

問1

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本単元の問題は出題パターンが多岐にわたるので、解法暗記があまり役に立ちません。したがって、いつものように出題パターンと解法を紐づけて覚えておくのではなく、問題文を読み、これまで習得したどの公式・解法が適用できるのか?を考える能力が求められます。

 

さて、問題文を読む手順は人それぞれあると思いますが、オススメは求めたいものから逆算していく方法です。今回の問題では、このように考えられます。

 

<解法を考える頭の中>

  1. 弦の長さ(=座標平面上の長さ)を求める方法は?→三平方の定理
  2. 三平方の定理を使うために必要な情報は?→円と直線の交点の座標
  3. 円と直線の交点の座標はどうやって求める?→グラフの交点=方程式の解

 

これができるようになるためには、一つ一つの公式・解法の使いどころをちゃんと把握できていることが必要です。このプランができたら、3から順番に取り掛かります。

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さて、ここで解の公式を使ってグラフの交点を2つ求め、プラン通りに2点間の距離を計算しても良いですが、解の公式が必要な時点でかなり計算大変そう、、、ということに気が付くはずです。

ここで思い出すべきは解と係数の関係です。登場時は意味不明な公式でしたが、今回のように、求めたいのは二次方程式の解ではなく、解を利用した別の式、というケースにおいて大きな力を発揮します。

その結果、プランを以下のようにアップデートします。

 

<解法を考える頭の中>

  1. 弦の長さ(=座標平面上の長さ)を求める方法は?→三平方の定理
  2. 三平方の定理を使うために必要な情報は?→円と直線の交点の座標(交点の座標がわからなくても、解と係数の関係で計算できるはず
  3. 円と直線の交点の座標はどうやって求める?→グラフの交点=方程式の解

つまり、交点の座標は求められていないけれど、無視して2点間の距離を計算していきます。

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これまでの単元と比較して非常に難しいと思うので、ぜひ何度も読み返して習得してください。ここでポイントになることは、この問題の解き方自体よりも、

  • 問題文から解法を引っ張りだす頭の使い方
  • 解いている途中で解法を変えていく考え方

の2点です。

いきなりできるようにはならないのである程度の練習は必要ですが、テストの土壇場でこれらができるか?を常に意識して、最終的に「こんなの絶対思いつかない!」という部分は暗記してしまう、というのが最も効率的な学習法だと考えます。

 

ついにわかる、判別式の使いどころ

もう一問チャレンジしてみましょう。

問2  

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円の接線の式は公式として覚えてしまうのもよいですが、その導出が非常に良い計算トレーニングになるので取り上げました。ここでもまずは、逆算式で解法のプランを立てていきます。

 

<解法を考える頭の中>

  1. 直線の式を求める方法は?
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    と置いて、mを求めればよい
  2. mはどうやって求める?
    円と直線が「接している」ので、円と直線の方程式を連立して解くと、解が1つだけになるはず。(グラフの交点=方程式の解)
    この条件を利用して、mに関する方程式を作ればよい。

 

問1と同様、直線の方程式を求める方法や、「グラフの交点方程式の解」といった基本の解法は覚えている必要があります。

※さらに基本的なことですが、ある文字の値を求めるためには、その文字の数だけ方程式が必要になります。今回はmという1つの文字を導入したので、mに関する条件を1つだけ見つけて方程式を立てれば必ず解けます。もし1で直線の方程式をy=mx+nと仮定した場合は、mとnに関する条件を2つ見つけて連立方程式を立てれば必ず解けます。つまり何が言いたいかというと、実は1で直線の方程式をどう決めても構いません。ただ自分の設定した文字の数だけ方程式を立てれば、最終的には必ず解けるのです。

 

それでは、解いていきます。

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この解が1つだけ、という条件を使ってmに関する方程式を立てます。最初に思いつくのは、この方程式の解が1/√2なので、xに1/√2を代入する方法だと思いますが、残念ながらこれはうまくいきません(やるとわかります)。

そこで別の手を考えるわけですが、「解が1つ」というキーワードから判別式の利用を思いつくのです。つまり、この二次方程式の判別式=0という条件を使ってmを求めます。

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■この単元が習得できれば受験レベル

今回は、他単元と比べてかなり難しい問題を扱いました。多くの高校生が理系に進むことを決定的に諦めるのはこのあたりだと思いますが、今回の2問が解ければ受験レベルだと考えれば、そんなに高い壁では無いと思います。

本ブログでは、ここまでの高校数学を10時間程度で習得できるコンテンツをまとめているので、ぜひ勇気をもって取り組んで頂ければ幸いです。