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数と式(展開・因数分解以外)は1時間で解けるようになる

目標習得時間:1時間 問題数:3問

 

■おさらい:数と式で習得すべきテクニックは5つ

前回の展開・因数分解で提示した通り、数と式の単元で習得すべきは以下の5つの計算テクニックです。 

  1. 展開
  2. 因数分解
  3. 根号を含む分数計算
  4. 一次不等式の解法
  5. 絶対値記号の外し方

今回は3~5を扱います。1、2は前回参照。

 

■根号は展開公式を活用して外せる

問1 以下の数を整数部分と少数部分に分解しなさい。

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分数の計算をするとき、通分を簡単にするため、分母はなるべくシンプルであってほしいものです。今回の問題のように、分母に根号が含まれる場合や、文字が含まれる場合等、様々なケースにおいて、分母が簡単な形になるよう変形するテクニックを覚えておくと便利です。

 

これは、まず答えを先に見たほうがわかると思います。

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分数式は、いわゆる通分・約分を応用することで、分母を計算しやすい形に変形することができます。今回は分母に根号が含まれているケースでしたが、分母の文字を消す場合など、様々応用が効きます。ただし「分母分子に何を掛け算すればよいのか?」という点は完全にセンスなので、その点については慣れるための演習が必要です。

 

■一次不等式の解法

問2 以下の不等式を解きなさい。

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不等式の解法はほとんど方程式と同じで、ただ「負の数で割り算したら不等号の向きが逆転する」ということだけ覚えておけばOKです。

さて、これだけであれば何も難しくないのですが、式にaという文字が含まれている点が高校数学らしさです。式に文字が含まれるときは常に「場合分け」を意識するというのが、この問題で習得すべきテクニックです。

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不等式が方程式と同じように解けることはもちろんですが、それ以上に「文字の値に応じて場合分けが必要」となるケースがあることを理解するのが重要です。今回のように、不等式を解く場合は負の数の割り算、ゼロでの割り算の2点に注目して場合分けしますが、問題のジャンルによって場合分けの条件は様々です。ただし、その条件は各単元で個別に覚えればよいことなので、現時点ではまず場合分けの感覚に慣れておけば十分でしょう。

 

■絶対値は扱いにくいので、まず外す

問3 以下の方程式を解け

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 高校数学では、絶対値を含む方程式が登場します。絶対値とは中学数学にも出てくる通り、中身の数字をすべて正の数として取り出す記号です。

さて、実はこの記号がついていると方程式を解くことができません。従って、ここで習得すべきことは、「絶対値を含む方程式の解き方」ではなく、「絶対値記号の外し方」です。まず一般的な解法としては、先ほどの場合分けのテクニックを使い、絶対値の中身が正の数か負の数かによって分解することです。

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これはこれで覚えておくべき絶対値の外し方ですが、実はもっと簡単に絶対値を外すことができます、それは、2乗するだけです。絶対値が厄介なのは符号の扱い方ですが、2乗してしまえばすべて正の数に統合できます。

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ただ絶対値を外すだけなら、明らかにこちらの方が簡単です。ただし、2乗するとその分方程式が高次になるので、解けないケースが出てきます。そのため、必ず解法1も習得しておく必要があります。

 

■とにかく基礎練習だと思って演習

繰り返しますが、この単元は非常につまらない。にもかかわらず、これが理解できていないと今後の高校数学を何も理解できない、という重要単元でもあります。

もはやつまらないことは割り切って、最低限、前回および今回の5問を繰り返し解いていただくことで、高校数学に必要な基礎力を身に着けられるものと思います。