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空間ベクトルは30分で解けるようになる

目標習得時間:30分 問題数:1問

 

■空間ベクトルの必修問題は1つだけ

立体の問題というと難関のイメージがありますが、前回の平面ベクトルが理解できていれば、空間のベクトルは全く同じと考えて大丈夫です。つまり、基本的な計算問題を習得した後は、パラメータを使って表現→3つの技術を使って実数の世界へ、です。

これは出題者側からみると、単純にベクトル計算の能力を把握するだけならば平面で十分であり、単元特有の出題バリエーションが非常に少ない分野でもあります。その結果、基礎レベルにおいて「空間ベクトルの問題」として習得すべきは、これから紹介する1問だけで十分と言えます。

問 

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まず(1)は復習です。

とにかく線をつないでいって、後で変形します。

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続いて(2)が今回習得すべき問題ですが、まずは平面のケースを復習します。平面ベクトルの解法は、パラメータを使ってベクトルを表現→3つの技術のいずれかで方程式に落とし込む→パラメータを求めるでした。そして、「3つの技術」とは、

  1. 2つのベクトルが同一であることを利用する
  2. 一直線上にある条件を利用する
  3. 内積を利用する

です。しかし、最初にお話ししたように、出題者目線では、解法が全く同じなのであれば平面で十分です。したがって、平面の問題とは違う技術を考えたとき、基礎レベルではそれは一つしかありません。

 2'. 同一平面上にある条件を利用する

実は1と3は平面と全く同じですが、2については「同一直線上」の3次元バージョンである「同一平面上」という概念が現れます。そしてこれが空間ベクトルにおける(ほぼ唯一ともいえる)出題パターンなのです。

 

では、まず定理を理解しましょう。同一直線上の条件とほとんど同じなので、混乱することはないでしょう。

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この技術を使うこと以外は、平面と全く同じです。繰り返しますが、パラメータを使ってベクトルを表現→「同一平面上にある条件」で方程式に落とし込む→パラメータを求める、です。

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■ベクトルは平面の問題を中心に演習すればOK

このように、空間ベクトルの問題は考え方が平面と同じですから、出題頻度の高い平面の方を理解しつつ、空間特有の問題である「同一平面上にある条件」だけ確認しておけば十分と言えます。

なお、数IIIで体積を計算できるようになると「空間ベクトル」としての出題意義が出てくることから、平面/空間の解法は同じであっても、文系数学では平面ベクトル、理系数学では空間ベクトルの問題をよく見るように感じます。